多种情况如何选择分类路径？

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在函数和几何相关的综合题中，我们常常会遇到“分类讨论”的问题，怎么分类才能确保不遗漏？当遇到多种情况的时候又该如何选择分类路径，这是我们这一节中需要讨论和探讨的问题。

所谓的分类讨论，就是在解决问题时，根据解题需要对问题进行科学、合理的分类，然后逐类进行讨论，从而使得问题得到圆满解决。

数学教学中引起“分类讨论”的原因单子有如下几方面：

(1)由概念定义引起的讨论。比如绝对值、平方根、一元二次方程的实根个数与系数的关系等；

(2)由运算的性质、运算的发展引起的讨论。

(3)由图形位置的不确定性引起的讨论。有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达题意，必须仔细、全面地考虑各种可能的不同位置关系，然后分类讨论，再逐一加以解决。

(4)在问题中含有字母参数引起的讨论。

(5)对于问题情境比较复杂的情况需要分类讨论。

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教材中与几何定理相关的分类讨论问题

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对于教材中与几何定理相关问题的分类讨论隶属于上述分类中“由图形位置的不确定性引起的讨论”：

诸如三角形一边的平行线的性质定理的证明.

如图1，在△ABC中，如果将直线l保持与边BC平行而进行移动，分为以下三种情况：①l与边AB、AC分别交于点D、E；②l与边AB、AC的延长线分别交于点D、E；③l与边AB、AC的反向延长线分别交于点D、E.分别对这三种情况进行证明，最后归纳得出“三角形一边的平行线的性质定理”.其中的证明过程也渗透着类比推理和演绎推理思想.

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诸如圆周角的性质定理的证明.

比如在证明圆周角定理时，我们将圆周角的两边所处的位置分为三种情况：角的一边落在直径上；角的两边在某一直径的两侧；角的两边在某一直径的同侧，如下表所示.分别对这三种情况进行证明，最后归纳出“圆周角定理对任意圆周角都成立”的结论.

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诸如四边形的分类问题.(来源于顾泠沅《数学思想方法》)

以下分类虽然不是一个严格的科学分类，如四边形中除了平行四边形、梯形外，还有既非平行四边形亦非梯形的一般四边形，但是，它确实从纷繁复杂的四边形中梳理出一个有序的结构，有利于更好地记忆与四边形相关的知识。

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教材中与代数计算相关的分类讨论问题

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①由概念定义引起的讨论如下二例所示：

诸如一元二次方程根的判别式相关的内容.

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诸如与“去绝对值”相关的代数计算的相关内容.

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②由“问题中含有字母参数引起的讨论”如下例所示：诸如解含字母系数的方程：

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对于复杂问题的分类讨论和路径选择问题

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在很多复杂情境中，不单单涉及一种类型的分类讨论问题，此时又该如何选择呢？

问题1：直角三角形+相似三角形的存在性问题

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如上例所示，本题涉及了二次函数与动点背景下与直角三角形、相似三角形存在性相关的问题，此时的分类讨论遇到了一个难点：到底是先讨论直角三角形的存在性还是相似三角形的存在性？对于本题而言，先确定了直角三角形，即确定了点P的位置，才能对于相似三角形的存在性进行讨论。

所以先讨论∠PCD或∠PDC=90°的情况，再讨论相似的情况，此时构造一线三直角模型，再利用图中的两组相似实现线段比的转化：

情况1：∠DCP=90°的情况

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情况2：∠CDP=90°的情况

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问题2：点在线段及其延长线+三角形的存在性问题

在压轴题中，我们常常会遇到“点在线段或其延长线(折线)上的分类讨论问题”，此类问题的典型特征是，如“点P在直线AB上”或“点P在射线AB上”或“当点P在线段AB上”或“点P落在线段AB或线段BC上”，当出现此类关键词时，要有“分类讨论”的意识，根据点的不同位置画出不同的图形，再进行相应的几何证明或几何计算。

两张图形虽然不同，但是边与边、角与角之间的关系往往没有改变，改变的是线段之间的和差关系。从特殊到一般，这也是我们发现问题、研究问题的一种常用方法。

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对于此类问题，我们先对点的位置进行分类，然后再进行进一步的分类讨论和计算，这样在逻辑思考顺序和计算上更加完善。

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